Dans la mathématique comme dans toutes les sciences, il faut distinguer deux parties. Les vérités qui constituent les sciences mathématiques doivent d'abord être inventées, puis démontrées. Toute méthode scientifique devra donc se composer de deux parties: l'une relative à l'invention, l'autre à la démonstration.
Invention. Il semble au premier abord qu'elle n'ait pas de place dans les mathématiques, où les vérités se déduisent toutes les unes des autres. Mais la géométrie telle qu'on l'enseigne n'est pas la géométrie telle que la fait le savant. Le théorème une fois trouvé, on le démontre en le rattachant à un autre déjà démontré; mais il faut d'abord le trouver, et la démonstration suppose ainsi l'invention. Mais d'où nous vient la faculté d'inventer? De l'imagination. Ce sont les hommes qui en sont doués qui inventent: les autres ont pour tout rôle de comprendre et de développer leurs inventions. Il n'y a pas de règle fixe pour l'emploi de l'imagination; une seule s'impose à l'inventeur: soumettre sa proposition découverte à une vérification rigoureuse.
Démonstration. L'invention forme la partie synthétique des sciences mathématiques. Mais les vérités à démontrer une fois trouvées, il faut les rattacher suivant les lois du raisonnement déductif aux autres vérités déjà acceptées. La démonstration mathématique se fait à l'aide des définitions, des axiomes, de la déduction.
La définition est comme la matière de la démonstration: celle-ci ne fait que développer ce qui y est contenu.
Les axiomes sont les principes régulateurs du raisonnement mathématique.
La déduction développe conformément aux axiomes ce qui est compris dans la
définition. Les axiomes dans la démonstration n'apprennent donc
rien de nouveau: ils ne font que guider la marche de l'esprit
qui raisonne; aussi, à regarder les choses de près, peut-on dire
qu'il n'y a qu'un seul axiome en mathématique, qui est le principe d'identité et de contradiction; tous les autres s'y ramènent, et c'est là ce qui en garantit
la valeur. De la déduction proprement dite, nous n'avons rien
à dire, nous l'avons déjà étudiée en détail, ainsi que le syllogisme,
qui en est la forme la plus importante.